پرتفوی چهارزوجیِ پرنوسان در کانال پایدار

سبد پیشنهادی: چهار زوج AUDCHF/AUDJPY/EURAUD/NZDJPY با تابع وزن بستهٔ

w_i(t) = s_i * a_i(t)^2 * c_i(t)^2 / SUM_j |...|      c_i = 1 - min(VR63_i, VR252_i)

که در آن a_i(t) دامنه و VR_i(t) واریانس‌نسجتِ خودِ زوج i روی پنجرهٔ غلتان 504روزه است و s_i الگوی علامت ثابت است. وزن فعلی: +0.248,+0.159,-0.007,+0.586 — یک تابع صریح از آینهٔ دومِ داده‌ها، بدون هیچ argmax یا پرش.

در لگاریتم قیمت، هر زوج تفاضل دو عامل ارزی است (دلار به‌عنوان پیمانه):

x_i(t) = log P_i(t) = f_base(i)(t) - f_quote(i)(t)
S(t) = SUM_i w_i(t) x_i(t) = SUM_c theta_c(t) f_c(t),    theta = A^T w
A = matrix of incidence: A[i,c] = +1 base, -1 quote

هر ۲۸ زوج روی 8 ارز نوشته می‌شود و ستون USD قابل حذف است، پس کل جهانِ داده 7 رتبه = 6 درجهٔ آزادی دارد. انتخاب ۴ زوج یعنی انتخاب ۴ یال از گراف کامل ۸-rأسی؛ آنچه سبد را می‌سازد نه نام زوج‌ها که مجموعهٔ عامل‌هایی است که قابل دسترسی‌اند.

عددِ وارسی‌شده: رتبهٔ ماتریس وقوع کل = 7؛ رتبهٔ ۴ یالِ بدون دور = 4 (کامل)؛ رتبهٔ ۴ یالِ شامل دور = 3 (نقص رتبه دارد).

اگر چهار یال شامل یک دور باشند (مثلاً EURUSD / GBPUSD / EURGBP)، یک اتحاد حسابی دقیق برقرار است:

x(EURGBP) = x(EURUSD) - x(GBPUSD)
=>  exists z != 0 with A^T z = 0  =>  S(t) = z.x(t) = const  =>  sigma(S) = 0

هر الگوریتمی که «کمینه‌کردن واریانس» یا «کمینه‌کردن VR» بی‌درنگ همین جهت را پیدا می‌کند و به شما یک کانال کامل با دامنهٔ صفر می‌فروشد. اندازه‌گیری روی دادهٔ واقعی، با وزن نرمال‌شدهٔ [-0.333 0.333 0.333 0. ]:

نتیجهٔ ریاضی مهم (و ناخوشایند): برای هر مجموعهٔ بدون دور، A^T رتبهٔ کامل ۴ دارد، پس A^T w = 0 ⟺ w = 0. سبد خنثای ارزِ دقیق از چهار زوج بدون دور ساختنی نیست؛ خنثایی دقیق فقط در دور ممکن است و دور همان اتحادِ بی‌نوسان است. هر «چارت مبنا»ی غیربدیهی باید یک قرارگیری خالص ارزی داشته باشد و وظیفهٔ طراحی این است که آن قرارگیری کراندار و رفت‌وبرگشتی باشد، نه صفر.

هدف: بیشینه‌کردن دامنه با سقف بر «کانال‌مانند بودن». بگذار عملگر حذفِ خطِ روند R = I - P(P^T P)^-1 P^T با P = [1, t] و E = R X. آنگاه:

C_1  = (dE)^T (dE) / (T-1)                C_k = (E_k - E_0)^T (E_k - E_0) / (T-k)
amplitude  a(w) = sqrt( w^T C_1 w )                 [log per sqrt(day)]
channel    VR_e(k)(w) = w^T C_k w / ( k * w^T C_1 w )

VR < 1 یعنی در افق k روزه مسیر کمتر از حرکت براونی پخش شده (کانال/برگشت)، VR = 1 تصادفی، >1 ترند. دو قید:

• قید اصلی: VR_e(252) <= tau = 0.15 — کانال باید در افق یک‌ساله دوام داشته باشد.
• قید نگهبان: VR_e(63) <= 0.8 — نگهبانِ فرار از حل‌های «فقط در افق بلند رنج».
• کران تنوع: |w_i| >= 0.15 و SUM|w_i| = 1 (ناخالص ثابت ⇒ مقایسهٔ منصفانه).

نکتهٔ فنی که حیاتی است: تمام ممان‌ها بدون مرکزسازی‌اند (عملگر R فقط خط روند را کم می‌کند، نه سطح را). اگر C_k را کوواریانسِ مرکز گرفته بسازید، دریفت پایدار از چشمِ آمار بلندمدت پنهان می‌ماند و بهینه‌ها «کانال»های در حال فرار می‌شوند. حذفِ روند اجازه می‌دهد کانال شیبدار هم مجاز باشد — چیزی که خواسته شد.

maximize   w^T C_1 w
subject to w^T C_k w <= tau_k * k * w^T C_1 w   (k = 63, 252)
           |w_i| >= floor,  SUM|w_i| = 1
=> non-convex QCQP; solved by exhaustive lattice search

حجم محاسبه: 1320 نقطهٔ شبکه (ترکیب‌های درست 1/20 با کف 0.15 و نرمال‌سازی علامت) × 18,865 ترکیب × 18 جوار (کف، tau) ≈ 1,027,765,200 ارزیابی فرم درجهٔ دوم — عددی، نه استنباطی.

اگر قید دامنه را بردارید و فقط min_vr کنید، شرط توقفِ لاگرانژ به مسئلهٔ ویژه‌سازی تعمیم‌یافته می‌رسد:

C_k v = lambda * k * C_1 v      =>      lambda = VR_e(k)(v)
the direction that minimises VR is the generalised eigenvector

به‌عبارتی: همان جهت‌هایی که VR را اکسترمم می‌کنند دامنه را نابود می‌کنند — و این تصادفی نیست؛ قیدها همگن‌اند، پس هر نقطهٔ ساکنِ KKT دوباره یک جهت ویژه است. اندازه‌گیری روی پنجرهٔ آخرِ سبد برگزیده:

جهت ویژه دامنهٔ 3.92% در سال دارد — یعنی 2 برابر کوچک‌تر از بهینهٔ مقیدِ 8.17%. با چنین دامنه‌ای هیچ اسپردی پوشیده نمی‌شود و هیچ گریدی عمق ندارد.

ده نامزد اولِ حمل‌شده به مطالعهٔ پویا (کف 0.15، بهترین tau برای هر مجموعه):

الگوی معنادار برنده‌ها: همه حول یک خانواده می‌چرخند — AUDCHF و NZDJPY به‌عنوان دو لگِ کم‌همبسته، به‌علاوهٔ یک لگِ «پل» که فاکتور دلار/ین را متعادل کند. این تصادفی نیست: جفت‌های دورِ JPY در پنج سال اخیر رفت‌وبرگشتی بوده‌اند و جفت‌های CHF با بازار کارا نوسانِ جهت‌دارِ کمتری دارند.

دو ردیف اول را با هم نخوانید: ردیف w(t) stitched تنها چیزی است که واقعاً قابل معامله بوده — وزن‌ها در هر لحظه فقط از پنجرهٔ ۵۰۴روزهٔ گذشته محاسبه شده‌اند. ردیف دوم «وزنِ امروز را از پنج سال پیش نگه می‌داشتیم» است و چون همان وزن با دیدنِ کل نمونه انتخاب شده، طبیعی است که عدد‌هایش زیباتر باشد؛ آن را ملاک تصمیم نگیرید.
«دریفت/رنج» = فاصلهٔ نقطهٔ پایان از نقطهٔ شروع تقسیم بر کل رنجِ پیموده‌شده. سبدِ قابل‌معامله 0.28، تک‌زوج‌های عضو سبد 0.162 – 0.557، و بهترین تک‌زوج 0.557: یعنی سبد پس از پنج سال به کسری از مسیرِ یک‌طرفهٔ تک‌زوج‌ها می‌رسد — همان چیزی که برای عمق گرید لازم است. دامنهٔ سبد (8.17%) هم دیگر افسانه‌ای نیست: درست زیرِ دامنهٔ AUDJPY (9.77%) و نزدیک‌ترین مقدار ممکن به سقف نظری §۵.

معایب که باید دید: دامنهٔ سبد (8.17%) از AUDJPY (9.77%) کمتر است — این همان هزینهٔ تنوع است که §۵ اندازه گرفت. و پاکت 2.82σ است: خروج بیش از ۳σ تقریباً غیرممکن نیست ولی باید در عمق گرید جا بگیرد.

ستون «پریود طیفی» را جدی نگیرید — §۸ نشان می‌دهد این کمیت روی پنجرهٔ ۵ساله عملاً ساختگیِ پنجره است (تکرار 156, 209, 313, 104 در 400 از 400 سبد).

ادامه‌داری یک قید ریاضی است، نه سلیقهٔ معاملاتی. اگر w(t) پرش داشته باشد، پرشِ وزن یعنی پرش در سطح چارت مبنا (ΔS = X(t)·Δw که می‌تواند چند درصد باشد) و یعنی هزینهٔ تعادل‌سازیِ بی‌دلیل. مقایسهٔ چهار سازوکار:

• argmax + قفل علامت + EWMA: هر 21 روز شبکه را دوباره حل کن. تابع argmax تکه‌تکه ثابت است ⇒ ذاتاً پران؛ EWMA آن را نرم می‌کند ولی پرش‌های علامت با قفل مهار می‌شوند.
• softmax با ماسک سخت: sigma_p ∝ exp(a_p/eta) روی نقاط مجاز. تحلیلی نسبت به ممان‌هاست اما مجموعهٔ مجاز با رد شدن یک نقطه از سقف، ناگهان عوض می‌شود ⇒ پرش.
• softmax با جریمهٔ نرم: ماسک به exp(-(excess VR)/kappa) تبدیل می‌شود ⇒ تابع لیپشیتز و واقعاً ادامه‌دار.
• فرم بسته (surrogate): w_i ∝ s_i a_i^p c_i^q با c_i نمرهٔ کانالِ خودِ لگ. هیچ حلیگر، هیچ شبکه، هیچ پرش.

تنظیمِ همان فرم بسته (کدام متغیر حالت، با چه تیزی):

ردیف سبز انتخاب شده: vrmin با p=2, q=2 — نمرهٔ ترکیبی دامنه − ۶×دریفت/رنج − ۴×پرش. توجه کنید c_i = 1 - min(VR63, VR252) بهتر از VR252 خالص کار می‌کند: لگی را که فقط در افق بلند رنج است تنبیه می‌کند. نیم‌عمر (hl) هم رتبه‌های خوب می‌دهد و همبستگی در آن نیست چون برای هر لگ به‌تنهایی تعریف نمی‌شود.

متغیرهای حالت چقدر تکان می‌خورند؟ (اگر تکان نمی‌خوردند، وزن ثابت کافی بود):

۱۲ سبد برتر از نظر دامنه و نمره‌های بیرون‌نمونه‌شان — دقت کنید چه چیزهایی ثابت می‌مانند و چه چیزهایی نه:

رابطهٔ ریاضیِ پشتِ عددِ +0.92 بین کورولیشن علامت‌دار و دامنه (که توضیح می‌دهد چرا این دو تقریباً یک چیزاند):

sigma^2(w) = SUM_i w_i^2 sigma_i^2 + 2 SUM_{i<j} w_i w_j rho_ij sigma_i sigma_j
define rho_signed = mean_ij sign(w_i w_j) rho_ij
=> if rho_signed ~ +1 the basket is (almost) one instrument: sigma(w) ~ SUM|w_i| sigma_i = max
   if rho_signed ~ -1 the legs cancel:                 sigma(w) ~ 0   (this is the trap of §2)

به بیانِ ساد: سخت‌گیریِ دامنه تحت سقف VR دقیقاً همان پیدا کردنِ لبهٔ مثبتِ این اتحاد است — لگ‌هایی که با هم نوسانِ زیادی دارند ولی در افق بلند همدیگر را خنثا می‌کنند. و چون این کمیت روی ۴ لگ پیوسته است، همان چیزی است که قانون وزن فرم‌بسته از آن استفاده می‌کند.

اگر هدف ناخالص V = 100,000 USD باشد، شرطِ اینکه سبدِ دلاری همان S = SUM w_i dlog P_i را بسازد این است:

lots_i = |w_i| * V / (100000 * B_i)        B_i = USD value of 1 unit of base currency
pip_value_i(1 lot) = 100000 * pip_i * Q_i  Q_i = USD value of 1 unit of quote currency
sign(w_i) > 0 => long base ; < 0 => short base

B_i و Q_i از خودِ داده‌ها استخراج می‌شوند (اتحاد عاملی §۱)، پس این جدول نیازمند نرخ بروکری نمی‌کند:

جمعِ سیگماهای دلاری لگ‌ها 572 USD در برابر سیگمای خالصِ سبد 518 USD در روز (با 100k ناخالص). کاهش فقط 9% است: مزیت این سبد کاهشِ جهت‌داربودن است، نه کاهشِ نوسان — همان کاری که §۶ با دریفت/رنج نشان داد.

معمای پیپ‌ولیو که حل شد: sigma_daily_pips ستون گمراه‌کننده است — دامنه‌ی یک زوج در «واحد لات» با درشتی پیپ و قیمت آن جفت عوض می‌شود؛ متغیر حالتِ درست، a_i = sqrt(C_1)_ii در واحد لگاریتم است که در فرمول بالا استفاده شد. به بیان دیگر: کورولیشن و پیپ‌ولیو دو ابزار جدایند — کورولیشن جهتِ وزن را می‌سازد (§۸)، پیپ‌ولیو فقط همان وزن را به لات ترجمه می‌کند.

قرارگیری خالص ارزیِ باقی‌مانده (theta = A^T w، همان چیزی که §۲ ثابت کرد صفر نشدنی است):

مجموع ستون دلار صفر است (هر لانگِ پایه یک شورتِ معادلِ quoted می‌طلبد). آنچه می‌ماند یک قرارگیری تک‌عاملی بزرگ روی JPY است. طراحی باید این عدد را تحت نظر بگیرد: اگر |theta_c| از حدی (مثلاً 60% ناخالص) بگذرد، چارت مبنا از «کانال» به «بتِ ارزی با ظاهر کانال» تبدیل شده.

• پنجره کوتاه است. کل داده 1254 روز معاملاتی (~۵ سال) و پنجرهٔ ممان‌ها 504 روز ⇒ فقط 30 بازآزمون مستقلِ 126روزه، با همپوشانی. اعداد §۷ و §۸ را باید «شواهد» خواند نه برآوردهای با خطای کم.
• قید کانال در آزمون بیرون‌نمونه نقض می‌شود. هدف tau=0.15 بود؛ سبدِ وزن‌ثابت روی کل نمونه VR(252) = 0.865 می‌دهد. یعنی tau روی پنجره برازش می‌چسبد ولی روی آینده نه — این طبیعی است ولی یعنی گیتِ پایشِ VR زنده لازم است.
• هزینه لحاظ نشده. محاسبات روی بستهٔ روزانه است؛ 4 لگ یعنی چهار اسپرد و چهار سوآپ. با گردش میانگین 0.08 در هر 21 روز، هزینهٔ تعادل‌سازی باید روی دادهٔ H1 با high/low داخل‌کندلی سنجیده شود.
• دُم. پاکت 2.82σ یعنی خروج ۴σ در افق ۵ساله تقریباً رخ نداده — ولی در جفت‌های ین/فرانک شوک‌های سیاستی (مداخلهٔ MoF/SNB) دقیقاً همان‌اند که آمار پنجره نمی‌بیند.

داده: C:/Apps/MartFibo/data/store/<PAIR>/D1.parquet (۲۸ زوج × ۷ تایم‌فریم). کد: analysis/portfolio/research_portfolio.py (غربالگری، قوانین وزن، ارزیابی بیرون‌نمونه) و analysis/portfolio/scan4d.py (توضیح جبر معیار بدون‌روند). خروجی‌های عددی همین گزارش: frontier_screen.csv، cand.json، law_comparison.csv، surrogate_sweep.csv، diag.csv، pip_lots.csv، exposure.csv، relations.csv، relations_corr.csv، state_variables.csv، wf_*.csv، figs/*.png. بازتولید: python analysis/portfolio/research_portfolio.py (~۱۱ دقیقه) سپس python analysis/portfolio/build_basket_report.py.